Вернуться на методику анализ финансовой отчетности

Регрессионый прогноз параметров

Суть метода заключается в том, что по значениям исследуемого параметра за прошлые периоды подбирается наиболее подходящая функция и уже по ней рассчитываются прогнозные значения. При этом предполагается, что будущие значения зависят от данных прошлых периодов, имеют определенную инерцию и не зависят от других факторов.

Уравнение авторегрессионой зависимости чаще всего ищется в виде линейной функции:

Y_t = A₀ + A₁ * Y_{t - 1} + A₂ * Y_{t - 2} + ... + A_i * Y_{t - i} + ... + A_k * Y_{t - k}, где

Y_t - прогнозируемое значение показателя Y в момент времени t;
Y_{t - i} - значение показателя Y в момент времени (t-i);

k - объём выборки (число известных параметров по которым строится линейная функция);
A _i - i-й коэффициент регрессии.

Делается это с помощью метода наименьших квадратов, когда минимизируется сумма квадратов отклонений реально наблюдаемых Y от их оценок (имеются в виду оценки с помощью прямой линии, претендующей на то, чтобы представлять искомую регрессионную зависимость.

В данной методике, для прогноза параметров и их приращений используется функция параболы второго порядка.

Аппроксимация параболой методом наименьших квадратов

Парабола второго порядка является функцией с тремя параметрами: Y = a * t ² + b * t + c

Сумма квадратов разностей значений функции и исследуемых значений параметров должна быть минимальной, или задача состоит в нахождении таких параметров a, b и c, что:

Y_i - значение показателя Y в момент времени i;
a, b, c - параметры аппроксимирующей функции;
k - объём выборки (число известных параметров по которым строится линейная функция);
t _i - номер периода от 1 до k.

Найдем значения a, b, c, обращающие левую часть выражения в минимум. Для этого продифференцируем ее по a, b, c и приравняем производные нулю: dY / da = 0, dY / db = 0, dY / dc = 0

Функция будет иметь минимум, когда все частные производные равны нулю.

После преобразований получим систему уравнений метода наименьших квадратов для параболы второго порядка:

Затем решаем систему уравнений методом Гаусса.

Суть этого метода состоит в том, что систему линейных уравнений преобразуют к системе с треугольной матрицей, а потом решают уравнения, начиная с последнего.

Первое уравнение считается основным, его мы не изменяем. Второе уравнение нужно преобразовать так, чтобы первый его коэффициент стал равен нулю. Для этого второе уравнение нужно умножить на такой множитель, чтобы первые коэффициенты первого и второго уравнения стали равны.

В результате получаем искомые значения параметров аппроксимирующей функции a, b, c.

Нахождение прогнозных значений с помощью аппроксимирующей функции: в полученное уравнение параболы второго порядка подставляем значения прогнозируемых периодов и получаем необходимый результат.

Пример. Чистая прибыль в первом квартале составила 133 тыс. рублей, во втором 178 тыс. рублей и в третьем 195 тыс. рублей. Сделайте прогноз на два квартала.

Составим систему уравнений:

3 * c                    + b * (1+2+3)          + a * (1² + 2² + 3²) = 133 + 178 + 195
c * (1+2+3)          + b * (1² + 2² + 3²) + a * (1³ + 2³ + 3³) = 133*1 + 178*2 + 195*3
c * (1² + 2² + 3²) + b * (1³ + 2³ + 3³) + a * (1⁴ + 2⁴ + 3⁴) = 133*1² + 178*2² + 195*3²

  3 * c +   6 * b + 14 * a = 506
  6 * c + 14 * b + 36 * a = 1 074
14 * c + 36 * b + 98 * a = 2 600

Решаем систему уравнений методом Гаусса.
Первое уравнение не меняется. Для получения второго уравнения треугольной матрицы делим второе уравнение на 2 и вычитаем его из первого:

3 * c + 6 * b + 14 * a = 506
-
3 * c + 7 * b + 18 * a = 537
_____________________
0            - b    - 4 * a = - 31         умножаем на -1 обе части и получаем: b + 4 * a = 31

Аналогично делаем с третьим уравнением - делим 14/3 и вычитаем его из первого:

             3 * c             + 6 * b           + 14 * a = 506
-
14/(14/3) * c + 36/(14/3) * b + 98/(14/3) * a = 2 600/(14/3)
_____________________________________________
0                      - 1,7143 * b               - 7 * a = - 51,1429       умножаем на -1 обе части и получаем: 1,7143 * b + 7 * a = 51,1429

Запишем получившуюся систему уравнений:
3 * c + 6 * b + 14 * a = 506
                b + 4 * a = 31
  1,7143 * b + 7 * a = 51,1429

Из второго уравнения вычитаем третье, деленное на коэффициент 1,7143:
                            b + 4 * a = 31
-
1,7143 / 1,7143 * b + 7 / 1,7143 * a = 51,1429 / 1,7143
____________________________________________
                                  0 - 0,0833 * a = 1,1669

В результате получаем треугольную матрицу:
3 * c + 6 * b + 14 * a = 506
                b + 4 * a = 31
           - 0,0833 * a = 1,1669

Отсюда последовательно находим неизвестные параметры функции:
a = 1,1669 / (- 0,0833) = - 14,0084
b = 31 - 4 * (- 14,0084) = 87,0336
c = (506 - 6 * 87,0336 - 14 * (- 14,0084)) / 3 = 59,9729

Искомая функция: Y_i = - 14,0084 * t ² + 87,0336 * t + 59,9729

Проверка правильности расчета для третьего квартала: Y₃ = - 14,0084 * 3² + 87,0336 * 3 + 59,972 = 194,9972;
Для четвертого квартала: Y₄ = - 14,0084 * 4² + 87,0336 * 4 + 59,9729 = 183,9729;
Для пятого квартала: Y₅ = - 14,0084 * 5² + 87,0336 * 5 + 59,9729 = 144,9309.

Ответ. Чистая прибыль в четвертом квартале прогнозируется в 183,97 тыс. рублей и в пятом 144,93 тыс. рублей.

Главная Методики финансового и инвестиционного анализа Анализ финансовой отчетности Регрессионый прогноз параметров

Copyright  © 2021 by Altair Software Company. Потенциальным спонсорам программ и проекта.

 

Добавить сайт "Инструменты финансового и инвестиционного анализа" в Избранное/Закладки